Интеграл acos(4*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  acos(4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4} \operatorname{acos}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{acos}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sqrt{- 16 x^{2} + 1}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (4 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{4}{\sqrt{- 16 x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{4 x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 1}}\, dx = - 4 \int \frac{x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - 16 x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 32 x dx$ и подставим $- \frac{du}{32}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{32} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{u}}{16}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{16} \sqrt{- 16 x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sqrt{- 16 x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{acos}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sqrt{- 16 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{acos}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sqrt{- 16 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                        ____          
 |                 1   I*\/ 15           
 |  acos(4*x) dx = - - -------- + acos(4)
 |                 4      4              
/                                        
0                                        

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} + \operatorname{acos}{\left (4 \right )}$$

Численный ответ

(0.249951020299195 + 1.09472539086772j)

Ответ (Неопределённый)

                         ___________              
  /                     /         2               
 |                    \/  1 - 16*x                
 | acos(4*x) dx = C - -------------- + x*acos(4*x)
 |                          4                     
/                                                 

$${{4\,x\,\arccos \left(4\,x\right)-\sqrt{1-16\,x^2}}\over{4}}$$