Интеграл acos(sqrt(x)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |      /  ___\   
 |  acos\\/ x / dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \sqrt{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

   $\int u \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int u \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{u^{2}}{2 \sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{2}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(u < 1, u > -1), context=u**2/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \begin{cases} - \frac{u}{2} \sqrt{- u^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (u \right )} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}$

      Таким образом, результат будет: $u^{2} \operatorname{acos}{\left (u \right )} + \begin{cases} - \frac{u}{2} \sqrt{- u^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (u \right )} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $x \operatorname{acos}{\left (\sqrt{x} \right )} + \begin{cases} - \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{- x + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\sqrt{x} \right )} & \text{for}\: \sqrt{x} > -1 \wedge \sqrt{x} < 1 \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} - \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{- x + 1} + x \operatorname{acos}{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\sqrt{x} \right )} & \text{for}\: \sqrt{x} > -1 \wedge \sqrt{x} < 1 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} - \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{- x + 1} + x \operatorname{acos}{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\sqrt{x} \right )} & \text{for}\: \sqrt{x} > -1 \wedge \sqrt{x} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} - \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{- x + 1} + x \operatorname{acos}{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\sqrt{x} \right )} & \text{for}\: \sqrt{x} > -1 \wedge \sqrt{x} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |      /  ___\      pi
 |  acos\\/ x / dx = --
 |                   4 
/                      
0                      

$${{\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

0.785398163397448

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                     
 |                                      //    /  ___\     ___   _______                                \
 |     /  ___\                /  ___\   ||asin\\/ x /   \/ x *\/ 1 - x          /  ___         ___    \|
 | acos\\/ x / dx = C + x*acos\\/ x / + |<----------- - ---------------  for And\\/ x  > -1, \/ x  < 1/|
 |                                      ||     2               2                                       |
/                                       \\                                                             /

$$2\,\left({{\arccos \sqrt{x}\,x}\over{2}}+{{{{\arcsin \sqrt{x} }\over{2}}-{{\sqrt{1-x}\,\sqrt{x}}\over{2}}}\over{2}}\right)$$