Интеграл acos(1/x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  acos|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

   Но интеграл

   $\begin{cases} \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} + i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} + i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )} + i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                1           
  /                /           
 |                |            
 |      /1\       |      /1\   
 |  acos|-| dx =  |  acos|-| dx
 |      \x/       |      \x/   
 |                |            
/                /             
0                0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx = \int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx$$

Численный ответ

(0.0 + 1.5707963267949j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                  //                | 2|    \            
 |     /1\          || acosh(x)   for |x | > 1|         /1\
 | acos|-| dx = C - |<                        | + x*acos|-|
 |     \x/          ||-I*asin(x)   otherwise  |         \x/
 |                  \\                        /            
/                                                          

$$\arccos \left({{1}\over{x}}\right)\,x-{{\log \left(\sqrt{1-{{1 }\over{x^2}}}+1\right)}\over{2}}+{{\log \left(\sqrt{1-{{1}\over{x^2 }}}-1\right)}\over{2}}$$