Интеграл acos(3-x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  acos(3 - x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (- x + 3 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = - x + 3$.

   Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

   $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = - \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

         1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $- u \operatorname{acos}{\left (u \right )} + \sqrt{- u^{2} + 1}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \left(- x + 3\right) \operatorname{acos}{\left (- x + 3 \right )} + \sqrt{- \left(- x + 3\right)^{2} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x - 3\right) \operatorname{acos}{\left (- x + 3 \right )} + \sqrt{- \left(- x + 3\right)^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x - 3\right) \operatorname{acos}{\left (- x + 3 \right )} + \sqrt{- \left(- x + 3\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x - 3\right) \operatorname{acos}{\left (- x + 3 \right )} + \sqrt{- \left(- x + 3\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                              
  /                                                              
 |                                                ___         ___
 |  acos(3 - x) dx = -2*acos(2) + 3*acos(3) + I*\/ 3  - 2*I*\/ 2 
 |                                                               
/                                                                
0                                                                

$$3\,\arccos 3-2\,\arccos 2+\left(\sqrt{3}-2^{{{3}\over{2}}}\right)\, i$$

Численный ответ

(0.0 + 1.55794941109031j)

Ответ (Неопределённый)

  /                        ______________                      
 |                        /            2                       
 | acos(3 - x) dx = C + \/  1 - (3 - x)   - (3 - x)*acos(3 - x)
 |                                                             
/                                                              

$$\pi\,x-\arccos \left(x-3\right)\,\left(x-3\right)+\sqrt{1-\left(x-3 \right)^2}$$