Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл acos(y) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
  /           
 |            
 |  acos(y) dy
 |            
/             
0
    ∫01acos⁡(y) dy\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (y \right )}\, dy
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(y)=acos⁡(y)u{\left (y \right )} = \operatorname{acos}{\left (y \right )} и пусть dv⁡(y)=1\operatorname{dv}{\left (y \right )} = 1 dx.

      Затем du⁡(y)=−1−y2+1\operatorname{du}{\left (y \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- y^{2} + 1}} dx.

      Чтобы найти v(y)v{\left (y \right )}:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        ∫1 dy=y\int 1\, dy = y

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫−y−y2+1 dy=−∫y−y2+1 dy\int - \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 1}}\, dy = - \int \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 1}}\, dy

      1. пусть u=−y2+1u = - y^{2} + 1.

        Тогда пусть du=−2ydydu = - 2 y dy и подставим −du2- \frac{du}{2}:

        ∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫1u du=−12∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: −u- \sqrt{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −−y2+1- \sqrt{- y^{2} + 1}

      Таким образом, результат будет: −y2+1\sqrt{- y^{2} + 1}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      yacos⁡(y)−−y2+1+constanty \operatorname{acos}{\left (y \right )} - \sqrt{- y^{2} + 1}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    yacos⁡(y)−−y2+1+constanty \operatorname{acos}{\left (y \right )} - \sqrt{- y^{2} + 1}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1               
  /               
 |                
 |  acos(y) dy = 1
 |                
/                 
0
    11
    Численный ответ [src]
    1.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                    ________            
 |                    /      2             
 | acos(y) dy = C - \/  1 - y   + y*acos(y)
 |                                         
/
    y arccos⁡y−1−y2y\,\arccos y-\sqrt{1-y^2}
    Упростить