Интеграл acos(y) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  acos(y) dy
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (y \right )}\, dy$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (y \right )} = \operatorname{acos}{\left (y \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (y \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (y \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- y^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (y \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dy = y$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 1}}\, dy = - \int \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 1}}\, dy$

   1. пусть $u = - y^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 y dy$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{- y^{2} + 1}$

   Таким образом, результат будет: $\sqrt{- y^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y \operatorname{acos}{\left (y \right )} - \sqrt{- y^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$y \operatorname{acos}{\left (y \right )} - \sqrt{- y^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |  acos(y) dy = 1
 |                
/                 
0                 

$$1$$

Численный ответ

1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                    ________            
 |                    /      2             
 | acos(y) dy = C - \/  1 - y   + y*acos(y)
 |                                         
/                                          

$$y\,\arccos y-\sqrt{1-y^2}$$