Интеграл acos(8*x+5) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  acos(8*x + 5) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (8 x + 5 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = 8 x + 5$.

   Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

   $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

         1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} \operatorname{acos}{\left (u \right )} - \frac{1}{8} \sqrt{- u^{2} + 1}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{8} \left(8 x + 5\right) \operatorname{acos}{\left (8 x + 5 \right )} - \frac{1}{8} \sqrt{- \left(8 x + 5\right)^{2} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{8} \left(8 x + 5\right) \operatorname{acos}{\left (8 x + 5 \right )} - \frac{1}{8} \sqrt{- \left(8 x + 5\right)^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{8} \left(8 x + 5\right) \operatorname{acos}{\left (8 x + 5 \right )} - \frac{1}{8} \sqrt{- \left(8 x + 5\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{8} \left(8 x + 5\right) \operatorname{acos}{\left (8 x + 5 \right )} - \frac{1}{8} \sqrt{- \left(8 x + 5\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                  
  /                                                    ____       ___
 |                       5*acos(5)   13*acos(13)   I*\/ 42    I*\/ 6 
 |  acos(8*x + 5) dx = - --------- + ----------- - -------- + -------
 |                           8            8           4          4   
/                                                                    
0                                                                    

$${{13\,\arccos 13-2\,\sqrt{42}\,i}\over{8}}-{{5\,\arccos 5-2\,\sqrt{ 6}\,i}\over{8}}$$

Численный ответ

(0.0 + 2.85141514416818j)

Ответ (Неопределённый)

                             ________________                          
  /                         /              2                           
 |                        \/  1 - (8*x + 5)     (8*x + 5)*acos(8*x + 5)
 | acos(8*x + 5) dx = C - ------------------- + -----------------------
 |                                 8                       8           
/                                                                      

$${{\left(8\,x+5\right)\,\arccos \left(8\,x+5\right)-\sqrt{1-\left(8 \,x+5\right)^2}}\over{8}}$$