Интеграл acos(x/4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  acos|-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = 4 \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $4 u \operatorname{acos}{\left (u \right )} - 4 \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{4} \right )} - 4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{4} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{x}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - \frac{x^{2}}{16} + 1$.

         Тогда пусть $du = - \frac{x dx}{8}$ и подставим $- 8 du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 8 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- 16 \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 16 \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \sqrt{- x^{2} + 16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \sqrt{- x^{2} + 16}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \sqrt{- x^{2} + 16}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      ____            
4 - \/ 15  + acos(1/4)

$$- \sqrt{15} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} \right)} + 4$$

=

=

      ____            
4 - \/ 15  + acos(1/4)

$$- \sqrt{15} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} \right)} + 4$$

Численный ответ

1.4451327254454

Ответ (Неопределённый)

  /                        ________            
 |                        /      2             
 |     /x\               /      x           /x\
 | acos|-| dx = C - 4*  /   1 - --  + x*acos|-|
 |     \4/            \/        16          \4/
 |                                             
/                                              

$$\int \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}$$

График