Интеграл acos(x)/2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  acos(x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{- x^{2} + 1}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |  acos(x)         
 |  ------- dx = 1/2
 |     2            
 |                  
/                   
0                   

$${{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                    ________            
 |                    /      2             
 | acos(x)          \/  1 - x     x*acos(x)
 | ------- dx = C - ----------- + ---------
 |    2                  2            2    
 |                                         
/                                          

$${{x\,\arccos x-\sqrt{1-x^2}}\over{2}}$$