Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл acos(x)/2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
  /           
 |            
 |  acos(x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |            
/             
0
    ∫0112acos⁡(x) dx\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫12acos⁡(x) dx=12∫acos⁡(x) dx\int \frac{1}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx

      1. Используем интегрирование по частям:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=acos⁡(x)u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )} и пусть dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du⁡(x)=−1−x2+1\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−x−x2+1 dx=−∫x−x2+1 dx\int - \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx

        1. пусть u=−x2+1u = - x^{2} + 1.

          Тогда пусть du=−2xdxdu = - 2 x dx и подставим −du2- \frac{du}{2}:

          ∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫1u du=−12∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Таким образом, результат будет: −u- \sqrt{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          −−x2+1- \sqrt{- x^{2} + 1}

        Таким образом, результат будет: −x2+1\sqrt{- x^{2} + 1}

      Таким образом, результат будет: x2acos⁡(x)−12−x2+1\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2acos⁡(x)−12−x2+1+constant\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x2acos⁡(x)−12−x2+1+constant\frac{x}{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1                 
  /                 
 |                  
 |  acos(x)         
 |  ------- dx = 1/2
 |     2            
 |                  
/                   
0
    12{{1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    0.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                    ________            
 |                    /      2             
 | acos(x)          \/  1 - x     x*acos(x)
 | ------- dx = C - ----------- + ---------
 |    2                  2            2    
 |                                         
/
    x arccos⁡x−1−x22{{x\,\arccos x-\sqrt{1-x^2}}\over{2}}
    Упростить