Интеграл acos(x/r) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  acos|-| dx
 |      \r/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{r}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{r}$ и подставим $du r$:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = r \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $r \left(u \operatorname{acos}{\left (u \right )} - \sqrt{- u^{2} + 1}\right)$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $r \left(- \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} + \frac{x}{r} \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}\right)$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}}}\, dx = - \frac{1}{r} \int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}}}\, dx$

      1. пусть $u = 1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{2 x}{r^{2}} dx$ и подставим $- \frac{du r^{2}}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{r^{2}}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- r^{2} \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- r^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}}$

      Таким образом, результат будет: $r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}}$

2. Теперь упростить:

   $- r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} + x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} + x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- r \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} + x \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                          ________          
 |      /x\                /     1         /1\
 |  acos|-| dx = r - r*   /  1 - --  + acos|-|
 |      \r/              /        2        \r/
 |                     \/        r            
/                                             
0                                             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (\frac{x}{r} \right )}\, dx = - r \sqrt{1 - \frac{1}{r^{2}}} + r + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{r} \right )}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                   /        ________         /x\\
 |                    |       /      2    x*acos|-||
 |     /x\            |      /      x           \r/|
 | acos|-| dx = C + r*|-    /   1 - --  + ---------|
 |     \r/            |    /         2        r    |
 |                    \  \/         r              /
/                                                   

$$r\,\left({{x\,\arccos \left({{x}\over{r}}\right)}\over{r}}-\sqrt{1- {{x^2}\over{r^2}}}\right)$$