Интеграл acos(x-1) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  acos(x - 1) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (x - 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = x - 1$.

   Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

   $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

      1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\left(x - 1\right) \operatorname{acos}{\left (x - 1 \right )} - \sqrt{- \left(x - 1\right)^{2} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x - 1\right) \operatorname{acos}{\left (x - 1 \right )} - \sqrt{- \left(x - 1\right)^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x - 1\right) \operatorname{acos}{\left (x - 1 \right )} - \sqrt{- \left(x - 1\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x - 1\right) \operatorname{acos}{\left (x - 1 \right )} - \sqrt{- \left(x - 1\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  acos(x - 1) dx = -1 + pi
 |                          
/                           
0                           

$$\pi-1$$

Численный ответ

2.14159265358979

Ответ (Неопределённый)

  /                        ______________                      
 |                        /            2                       
 | acos(x - 1) dx = C - \/  1 - (x - 1)   + (x - 1)*acos(x - 1)
 |                                                             
/                                                              

$$\arccos \left(x-1\right)\,\left(x-1\right)-\sqrt{1-\left(x-1\right) ^2}$$