Интеграл acos(x+6) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  acos(x + 6) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left (x + 6 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = x + 6$.

   Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

   $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

      1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\left(x + 6\right) \operatorname{acos}{\left (x + 6 \right )} - \sqrt{- \left(x + 6\right)^{2} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x + 6\right) \operatorname{acos}{\left (x + 6 \right )} - \sqrt{- \left(x + 6\right)^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x + 6\right) \operatorname{acos}{\left (x + 6 \right )} - \sqrt{- \left(x + 6\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x + 6\right) \operatorname{acos}{\left (x + 6 \right )} - \sqrt{- \left(x + 6\right)^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                               
  /                                                               
 |                                                ____         ___
 |  acos(x + 6) dx = -6*acos(6) + 7*acos(7) + I*\/ 35  - 4*I*\/ 3 
 |                                                                
/                                                                 
0                                                                 

$$7\,\arccos 7-6\,\arccos 6+\sqrt{35}\,i-4\,\sqrt{3}\,i$$

Численный ответ

(0.0 + 2.55795472804069j)

Ответ (Неопределённый)

  /                        ______________                      
 |                        /            2                       
 | acos(x + 6) dx = C - \/  1 - (x + 6)   + (x + 6)*acos(x + 6)
 |                                                             
/                                                              

$$\left(x+6\right)\,\arccos \left(x+6\right)-\sqrt{1-\left(x+6\right) ^2}$$