Интеграл acot(x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  acot(x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acot}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

log(2)   pi
------ + --
  2      4 

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$

=

=

log(2)   pi
------ + --
  2      4 

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

1.13197175367742

Ответ (Неопределённый)

  /                    /     2\            
 |                  log\1 + x /            
 | acot(x) dx = C + ----------- + x*acot(x)
 |                       2                 
/                                          

$$\int \operatorname{acot}{\left(x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$

График