Интеграл asin(1/x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  asin|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\, dx = - \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\begin{cases} \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

   Таким образом, результат будет: $- \begin{cases} \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} - i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} - i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \operatorname{acosh}{\left (x \right )} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )} - i \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |      /1\      pi   pi*I
 |  asin|-| dx = -- - ----
 |      \x/      2     2  
 |                        
/                         
0                         

$$\int_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx = \frac{\pi}{2} - \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

(1.5707963267949 - 1.5707963267949j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                              //                | 2|    \
 |     /1\                /1\   || acosh(x)   for |x | > 1|
 | asin|-| dx = C + x*asin|-| + |<                        |
 |     \x/                \x/   ||-I*asin(x)   otherwise  |
 |                              \\                        /
/                                                          

$$\arcsin \left({{1}\over{x}}\right)\,x+{{\log \left(\sqrt{1-{{1 }\over{x^2}}}+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sqrt{1-{{1}\over{x^2 }}}-1\right)}\over{2}}$$