Интеграл asin(5*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |  asin(5*x) dx
     |              
    /               
    0               
    01asin(5x)dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=5xu = 5 x.

        Тогда пусть du=5dxdu = 5 dx и подставим du5\frac{du}{5}:

        asin(u)du\int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          asin(u)du=15asin(u)du\int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=asin(u)u{\left (u \right )} = \operatorname{asin}{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Затем du(u)=1u2+1\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. пусть u=u2+1u = - u^{2} + 1.

            Тогда пусть du=2ududu = - 2 u du и подставим du2- \frac{du}{2}:

            1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1udu=121udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Таким образом, результат будет: u- \sqrt{u}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            u2+1- \sqrt{- u^{2} + 1}

          Таким образом, результат будет: u5asin(u)+15u2+1\frac{u}{5} \operatorname{asin}{\left (u \right )} + \frac{1}{5} \sqrt{- u^{2} + 1}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        xasin(5x)+1525x2+1x \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{1}{5} \sqrt{- 25 x^{2} + 1}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=asin(5x)u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=525x2+1\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{5}{\sqrt{- 25 x^{2} + 1}} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        5x25x2+1dx=5x25x2+1dx\int \frac{5 x}{\sqrt{- 25 x^{2} + 1}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{- 25 x^{2} + 1}}\, dx

        1. пусть u=25x2+1u = - 25 x^{2} + 1.

          Тогда пусть du=50xdxdu = - 50 x dx и подставим du50- \frac{du}{50}:

          1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=1501udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{50} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Таким образом, результат будет: u25- \frac{\sqrt{u}}{25}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12525x2+1- \frac{1}{25} \sqrt{- 25 x^{2} + 1}

        Таким образом, результат будет: 1525x2+1- \frac{1}{5} \sqrt{- 25 x^{2} + 1}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      xasin(5x)+1525x2+1+constantx \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{1}{5} \sqrt{- 25 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xasin(5x)+1525x2+1+constantx \operatorname{asin}{\left (5 x \right )} + \frac{1}{5} \sqrt{- 25 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}

    График
    0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.2002
    Ответ [src]
                ___          
      1   2*I*\/ 6           
    - - + --------- + asin(5)
      5       5              
    15+asin(5)+26i5- \frac{1}{5} + \operatorname{asin}{\left(5 \right)} + \frac{2 \sqrt{6} i}{5}
    =
    =
                ___          
      1   2*I*\/ 6           
    - - + --------- + asin(5)
      5       5              
    15+asin(5)+26i5- \frac{1}{5} + \operatorname{asin}{\left(5 \right)} + \frac{2 \sqrt{6} i}{5}
    Численный ответ [src]
    (1.37073827404968 - 1.31285052572784j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
                             ___________              
      /                     /         2               
     |                    \/  1 - 25*x                
     | asin(5*x) dx = C + -------------- + x*asin(5*x)
     |                          5                     
    /                                                 
    asin(5x)dx=C+xasin(5x)+125x25\int \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} + \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}
    График
    Интеграл asin(5*x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/cb/be5e2043b4c6a24b097d8a32e8153.png