Интеграл asin(t) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  asin(t) dt
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = \operatorname{asin}{\left (t \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = \frac{1}{\sqrt{- t^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dt = t$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. пусть $u = - t^{2} + 1$.

   Тогда пусть $du = - 2 t dt$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

   $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

      Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \sqrt{- t^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t \operatorname{asin}{\left (t \right )} + \sqrt{- t^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$t \operatorname{asin}{\left (t \right )} + \sqrt{- t^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                    pi
 |  asin(t) dt = -1 + --
 |                    2 
/                       
0                       

$${{\pi}\over{2}}-1$$

Численный ответ

0.570796326794897

Ответ (Неопределённый)

  /                    ________            
 |                    /      2             
 | asin(t) dt = C + \/  1 - t   + t*asin(t)
 |                                         
/                                          

$$t\,\arcsin t+\sqrt{1-t^2}$$