Интеграл asin(x/2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  asin|-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du = 2 \int \operatorname{asin}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{asin}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = - u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $2 u \operatorname{asin}{\left (u \right )} + 2 \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - \frac{x^{2}}{4} + 1$.

         Тогда пусть $du = - \frac{x dx}{2}$ и подставим $- 2 du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- 4 \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 4 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{4} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sqrt{- x^{2} + 4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sqrt{- x^{2} + 4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sqrt{- x^{2} + 4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |      /x\             ___   pi
 |  asin|-| dx = -2 + \/ 3  + --
 |      \2/                   6 
 |                              
/                               
0                               

$${{\pi+2\,3^{{{3}\over{2}}}}\over{6}}-2$$

Численный ответ

0.255649583167176

Ответ (Неопределённый)

  /                        ________            
 |                        /      2             
 |     /x\               /      x           /x\
 | asin|-| dx = C + 2*  /   1 - --  + x*asin|-|
 |     \2/            \/        4           \2/
 |                                             
/                                              

$$2\,\left(\sqrt{1-{{x^2}\over{4}}}+{{\arcsin \left({{x}\over{2}} \right)\,x}\over{2}}\right)$$