Интеграл atan(4*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  atan(4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{atan}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (16 x^{2} + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (4 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{4}{16 x^{2} + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4 x}{16 x^{2} + 1}\, dx = 4 \int \frac{x}{16 x^{2} + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 16 x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 32 x dx$ и подставим $\frac{du}{32}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{32} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{32} \log{\left (16 x^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (16 x^{2} + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (16 x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (16 x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                   log(17)          
 |  atan(4*x) dx = - ------- + atan(4)
 |                      8             
/                                     
0                                     

$$-{{\log 17-8\,\arctan 4}\over{8}}$$

Численный ответ

0.971665995661005

Ответ (Неопределённый)

  /                      /        2\              
 |                    log\1 + 16*x /              
 | atan(4*x) dx = C - -------------- + x*atan(4*x)
 |                          8                     
/                                                 

$${{4\,x\,\arctan \left(4\,x\right)-{{\log \left(16\,x^2+1\right) }\over{2}}}\over{4}}$$