Интеграл atan(2/x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /2\   
 |  atan|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\frac{2}{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{2}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{4}{x^{2}}\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{2}{x \left(1 + \frac{4}{x^{2}}\right)}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x \left(1 + \frac{4}{x^{2}}\right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{4}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

      2. пусть $u = x^{2} + 4$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{4}{x^{2}}\right)} = \frac{1}{x + \frac{4}{x}}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x + \frac{4}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

      3. пусть $u = x^{2} + 4$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{2}{x} \right )} + \log{\left (x^{2} + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\frac{2}{x} \right )} + \log{\left (x^{2} + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |      /2\                                
 |  atan|-| dx = -log(4) + atan(2) + log(5)
 |      \x/                                
 |                                         
/                                          
0                                          

$$\log 5-\log 4+\arctan 2$$

Численный ответ

1.3302922691083

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |     /2\                /2\      /     2\
 | atan|-| dx = C + x*atan|-| + log\4 + x /
 |     \x/                \x/              
 |                                         
/                                          

$$\log \left(x^2+4\right)+\arctan \left({{2}\over{x}}\right)\,x$$