Интеграл atan(2*x-3) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  atan(2*x - 3) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (2 x - 3 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = 2 x - 3$.

   Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть $u = u^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{2} \left(2 x - 3\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 3 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (\left(2 x - 3\right)^{2} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \left(2 x - 3\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 3 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (\left(2 x - 3\right)^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \left(2 x - 3\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 3 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (\left(2 x - 3\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \left(2 x - 3\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 3 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (\left(2 x - 3\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                             
  /                                             
 |                       3*atan(3)   log(5)   pi
 |  atan(2*x - 3) dx = - --------- + ------ + --
 |                           2         4      8 
/                                               
0                                               

$${{\log 10-6\,\arctan 3}\over{4}}-{{2\,\log 2-\pi}\over{8}}$$

Численный ответ

-1.07851009879013

Ответ (Неопределённый)

  /                          /             2\                          
 |                        log\1 + (2*x - 3) /   (2*x - 3)*atan(2*x - 3)
 | atan(2*x - 3) dx = C - ------------------- + -----------------------
 |                                 4                       2           
/                                                                      

$${{\left(2\,x-3\right)\,\arctan \left(2\,x-3\right)-{{\log \left( \left(2\,x-3\right)^2+1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$