Интеграл atan(cot(x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  atan(cot(x)) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1} = - \frac{x \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1} - \frac{x}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}\, dx = - \int \frac{x \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{x^{2} \cot^{2}{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{x^{2}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{2 x \cot{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{1}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2} \cot^{2}{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{x^{2}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{2 x \cot{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{1}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}\, dx = - \int \frac{x}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{x^{2} \tan^{2}{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{x^{2}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{2 x \tan{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{1}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2} \tan^{2}{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{x^{2}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{2 x \tan{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{1}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4}$

   Результат есть: $- \frac{x^{2} \cot^{2}{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{x^{2}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{x^{2} \tan^{2}{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{x^{2}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} - \frac{2 x \cot{\left (x \right )}}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{2 x \tan{\left (x \right )}}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{1}{4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4} + \frac{1}{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{4}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  atan(cot(x)) dx = 1/2 + atan(cot(1))
 |                                      
/                                       
0                                       

$$\arctan \left({{\cos 1}\over{\sin 1}}\right)+{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

1.0707963267949

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                              2               2           2    2          2    2                                    
 |                             1               1                                x               x           x *cot (x)      x *tan (x)      2*x*tan(x)      2*x*cot(x) 
 | atan(cot(x)) dx = C - ------------- - ------------- + x*atan(cot(x)) + ------------- + ------------- + ------------- + ------------- - ------------- + -------------
 |                                2               2                                2               2               2               2               2               2   
/                        4 + 4*cot (x)   4 + 4*tan (x)                    4 + 4*cot (x)   4 + 4*tan (x)   4 + 4*cot (x)   4 + 4*tan (x)   4 + 4*tan (x)   4 + 4*cot (x)

$$x\,\arctan \left({{1}\over{\tan x}}\right)+{{x^2}\over{2}}$$