Интеграл atan(sqrt(x-1)) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |      /  _______\   
 |  atan\\/ x - 1 / dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x - 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 1}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{2 u^{2} + 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{u^{2} + 1}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{1}{u^{2} + 1}\, du = - \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

               Результат есть: $u - \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $u^{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - u + \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{x - 1} + \left(x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )} + \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 x \sqrt{x - 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 \sqrt{x - 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{x - 1}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )} - \sqrt{x - 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )} - \sqrt{x - 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x - 1} \right )} - \sqrt{x - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        1                    
  /                        /                    
 |                        |                     
 |      /  _______\       |      /  ________\   
 |  atan\\/ x - 1 / dx =  |  atan\\/ -1 + x / dx
 |                        |                     
/                        /                      
0                        0                      

$${\it \%a}$$

Численный ответ

(0.0 + 1.0j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                              
 |                                                                               
 |     /  _______\            _______               /  _______\       /  _______\
 | atan\\/ x - 1 / dx = C - \/ x - 1  + (x - 1)*atan\\/ x - 1 / + atan\\/ x - 1 /
 |                                                                               
/                                                                                

$$2\,\left({{\arctan \sqrt{x-1}\,\left(x-1\right)}\over{2}}-{{\sqrt{x -1}-\arctan \sqrt{x-1}}\over{2}}\right)$$