Интеграл atan(t) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  atan(t) dt
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = \operatorname{atan}{\left (t \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = \frac{1}{t^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dt = t$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. пусть $u = t^{2} + 1$.

   Тогда пусть $du = 2 t dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \frac{1}{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{2} \log{\left (t^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t \operatorname{atan}{\left (t \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (t^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$t \operatorname{atan}{\left (t \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (t^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                 log(2)   pi
 |  atan(t) dt = - ------ + --
 |                   2      4 
/                             
0                             

$$-{{2\,\log 2-\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

0.438824573117476

Ответ (Неопределённый)

  /                    /     2\            
 |                  log\1 + t /            
 | atan(t) dt = C - ----------- + t*atan(t)
 |                       2                 
/                                          

$$t\,\arctan t-{{\log \left(t^2+1\right)}\over{2}}$$