Интеграл atan(tan(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |  atan(tan(x)) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    01atan(tan(x))dx\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=atan(tan(x))u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

      xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    3. Теперь упростить:

      x2(x+2atan(tan(x)))\frac{x}{2} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2(x+2atan(tan(x)))+constant\frac{x}{2} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2(x+2atan(tan(x)))+constant\frac{x}{2} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1                                
      /                       2        
     |                    atan (tan(1))
     |  atan(tan(x)) dx = -------------
     |                          2      
    /                                  
    0                                  
    12{{1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    0.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                       2                 
     |                       x                  
     | atan(tan(x)) dx = C - -- + x*atan(tan(x))
     |                       2                  
    /                                           
    x22{{x^2}\over{2}}