↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример
1 / | | atan(tan(x)) dx | / 0
Используем интегрирование по частям:
∫udv=uv−∫vdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}∫udv=uv−∫vdu
пусть u(x)=atan(tan(x))u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}u(x)=atan(tan(x)) и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1dv(x)=1 dx.
Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1du(x)=1 dx.
Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}v(x):
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
∫1 dx=x\int 1\, dx = x∫1dx=x
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл xnx^{n}xn есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}n+1xn+1:
∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}∫xdx=2x2
Теперь упростить:
x2(−x+2atan(tan(x)))\frac{x}{2} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)2x(−x+2atan(tan(x)))
Добавляем постоянную интегрирования:
x2(−x+2atan(tan(x)))+constant\frac{x}{2} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)+ \mathrm{constant}2x(−x+2atan(tan(x)))+constant
Ответ:
1 / 2 | atan (tan(1)) | atan(tan(x)) dx = ------------- | 2 / 0
0.5
/ 2 | x | atan(tan(x)) dx = C - -- + x*atan(tan(x)) | 2 /