Интеграл atan(x/4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  atan|-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = 4 \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 u \operatorname{atan}{\left (u \right )} - 2 \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )} - 2 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{4} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{x}{\frac{x^{2}}{16} + 1}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \frac{x^{2}}{16} + 1$.

            Тогда пусть $du = \frac{x dx}{8}$ и подставим $8 du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = 8 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $8 \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $8 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x^{2}}{16} + 1} = \frac{16 x}{x^{2} + 16}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{16 x}{x^{2} + 16}\, dx = 16 \int \frac{x}{x^{2} + 16}\, dx$

            1. пусть $u = x^{2} + 16$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 16 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $8 \log{\left (x^{2} + 16 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )} - 2 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )} - 2 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )} - 2 \log{\left (\frac{x^{2}}{16} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |      /x\                                        
 |  atan|-| dx = -2*log(17) + 2*log(16) + atan(1/4)
 |      \4/                                        
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$$\arctan \left({{1}\over{4}}\right)-2\,\log \left({{17}\over{16}} \right)$$

Численный ответ

0.123729419493994

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                       /     2\            
 |     /x\               |    x |         /x\
 | atan|-| dx = C - 2*log|1 + --| + x*atan|-|
 |     \4/               \    16/         \4/
 |                                           
/                                            

$$4\,\left({{\arctan \left({{x}\over{4}}\right)\,x}\over{4}}-{{\log \left({{x^2}\over{16}}+1\right)}\over{2}}\right)$$