Интеграл atan(x/3) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  atan|-| dx
 |      \3/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = 3 \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 u \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{3}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{3} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x}{\frac{x^{2}}{9} + 1}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \frac{x^{2}}{9} + 1$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 x}{9} dx$ и подставим $\frac{9 du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{9}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{9}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{9}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x^{2}}{9} + 1} = \frac{9 x}{x^{2} + 9}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{9 x}{x^{2} + 9}\, dx = 9 \int \frac{x}{x^{2} + 9}\, dx$

            1. пусть $u = x^{2} + 9$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 9 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{9}{2} \log{\left (x^{2} + 9 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{3}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{9} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |      /x\        3*log(10)   3*log(9)            
 |  atan|-| dx = - --------- + -------- + atan(1/3)
 |      \3/            2          2                
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$$-{{3\,\log \left({{10}\over{9}}\right)-2\,\arctan \left({{1}\over{3 }}\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

0.163709780909903

Ответ (Неопределённый)

                         /     2\            
  /                      |    x |            
 |                  3*log|1 + --|            
 |     /x\               \    9 /         /x\
 | atan|-| dx = C - ------------- + x*atan|-|
 |     \3/                2               \3/
 |                                           
/                                            

$$3\,\left({{\arctan \left({{x}\over{3}}\right)\,x}\over{3}}-{{\log \left({{x^2}\over{9}}+1\right)}\over{2}}\right)$$