Интеграл atan(x/y) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /x\   
 |  atan|-| dx
 |      \y/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{y}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{y}$ и подставим $du y$:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = y \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = u^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $y \left(u \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}\right)$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $y \left(\frac{x}{y} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}\right)$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)}\, dx = \frac{1}{y} \int \frac{x}{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 x}{y^{2}} dx$ и подставим $\frac{du y^{2}}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{y^{2}}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{y^{2}}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{y^{2}}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1} = \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dx = y^{2} \int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx$

            1. пусть $u = x^{2} + y^{2}$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{y^{2}}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{y}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )} - \frac{y}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )} - \frac{y}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{y} \right )} - \frac{y}{2} \log{\left (\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                 
  /                                                 
 |                    / 2\        /     2\          
 |      /x\      y*log\y /   y*log\1 + y /       /1\
 |  atan|-| dx = --------- - ------------- + atan|-|
 |      \y/          2             2             \y/
 |                                                  
/                                                   
0                                                   

$$\arctan \left({{1}\over{y}}\right)-{{y\,\log \left({{y^2+1}\over{y^ 2}}\right)}\over{2}}$$

Ответ (Неопределённый)

                      /     /     2\            \
                      |     |    x |            |
  /                   |  log|1 + --|         /x\|
 |                    |     |     2|   x*atan|-||
 |     /x\            |     \    y /         \y/|
 | atan|-| dx = C + y*|- ----------- + ---------|
 |     \y/            \       2            y    /
 |                                               
/                                                

$$\left({{x\,\arctan \left({{x}\over{y}}\right)}\over{y}}-{{\log \left({{x^2}\over{y^2}}+1\right)}\over{2}}\right)\,y$$