Интеграл (atan(x))/x^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  atan(x)   
 |  ------- dx
 |      2     
 |     x      
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

               1. пусть $u = u^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Метод #4

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo

$$\infty$$

=

=

oo

$$\infty$$

Численный ответ

43.9584743803155

Ответ (Неопределённый)

                       /    1 \          
  /                 log|1 + --|          
 |                     |     2|          
 | atan(x)             \    x /   atan(x)
 | ------- dx = C - ----------- - -------
 |     2                 2           x   
 |    x                                  
 |                                       
/                                        

$$\int \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}$$