Интеграл atan(x+1) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  atan(x + 1) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = x + 1$.

   Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

   $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = u^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\left(x + 1\right)^{2} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\left(x + 1\right)^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\left(x + 1\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\left(x + 1\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                   log(2)               log(5)   pi
 |  atan(x + 1) dx = ------ + 2*atan(2) - ------ - --
 |                     2                    2      4 
/                                                    
0                                                    

$${{2\,\log 2-\pi}\over{4}}-{{\log 5-4\,\arctan 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.970753906253655

Ответ (Неопределённый)

  /                        /           2\                      
 |                      log\1 + (x + 1) /                      
 | atan(x + 1) dx = C - ----------------- + (x + 1)*atan(x + 1)
 |                              2                              
/                                                              

$$\left(x+1\right)\,\arctan \left(x+1\right)-{{\log \left(\left(x+1 \right)^2+1\right)}\over{2}}$$