Интеграл atan((x)^(1/2)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |      /  ___\   
 |  atan\\/ x / dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \sqrt{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

   $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{2}}{2 u^{2} + 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{u^{2} + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u^{2} + 1}\, du = - \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $u^{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - u + \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \sqrt{x} + x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )} + \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \sqrt{x} + x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )} + \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \sqrt{x} + x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )} + \operatorname{atan}{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |      /  ___\           pi
 |  atan\\/ x / dx = -1 + --
 |                        2 
/                           
0                           

$${{\pi-2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.570796326794897

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                                         
 |     /  ___\            ___         /  ___\       /  ___\
 | atan\\/ x / dx = C - \/ x  + x*atan\\/ x / + atan\\/ x /
 |                                                         
/                                                          

$$2\,\left({{\arctan \sqrt{x}\,x}\over{2}}-{{\sqrt{x}-\arctan \sqrt{x }}\over{2}}\right)$$