Интеграл (4*x-1)^3 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           3   
 |  (4*x - 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(4 x - 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = \frac{1}{4} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{16}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{16} \left(4 x - 1\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x - 1\right)^{3} = 64 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x - 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 64 x^{3}\, dx = 64 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $16 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 48 x^{2}\, dx = - 48 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 16 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12 x\, dx = 12 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $6 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      Результат есть: $16 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} - x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{16} \left(4 x - 1\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{16} \left(4 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{16} \left(4 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |           3       
 |  (4*x - 1)  dx = 5
 |                   
/                    
0                    

$$5$$

Численный ответ

5.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              4
 |          3          (4*x - 1) 
 | (4*x - 1)  dx = C + ----------
 |                         16    
/                                

$$16\,x^4-16\,x^3+6\,x^2-x$$