Интеграл (4*x-3)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (4*x - 3)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 3\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{7}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{4}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{32}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x - 3\right)^{8}}{32}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x - 3\right)^{7} = 16384 x^{7} - 86016 x^{6} + 193536 x^{5} - 241920 x^{4} + 181440 x^{3} - 81648 x^{2} + 20412 x - 2187$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16384 x^{7}\, dx = 16384 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $2048 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 86016 x^{6}\right)\, dx = - 86016 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 12288 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 193536 x^{5}\, dx = 193536 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $32256 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 241920 x^{4}\right)\, dx = - 241920 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 48384 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 181440 x^{3}\, dx = 181440 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $45360 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 81648 x^{2}\right)\, dx = - 81648 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 27216 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 20412 x\, dx = 20412 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $10206 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-2187\right)\, dx = - 2187 x$

      Результат есть: $2048 x^{8} - 12288 x^{7} + 32256 x^{6} - 48384 x^{5} + 45360 x^{4} - 27216 x^{3} + 10206 x^{2} - 2187 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{8}}{32}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(4 x - 3\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-205

$$-205$$

=

=

-205

$$-205$$

Численный ответ

-205.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (4*x - 3) 
 | (4*x - 3)  dx = C + ----------
 |                         32    
/                                

$$\int \left(4 x - 3\right)^{7}\, dx = C + \frac{\left(4 x - 3\right)^{8}}{32}$$

График