Интеграл 4*x*asin(x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  4*x*asin(x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 4 x \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 4 x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**2/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $2 \begin{cases} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} 2 x^{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + x \sqrt{- x^{2} + 1} - \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} 2 x^{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + x \sqrt{- x^{2} + 1} - \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} 2 x^{2} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + x \sqrt{- x^{2} + 1} - \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                   pi
 |  4*x*asin(x) dx = --
 |                   2 
/                      
0                      

$${{\pi}\over{2}}$$

Численный ответ

1.5707963267949

Ответ (Неопределённый)

  /                       //               ________                        \               
 |                        ||              /      2                         |      2        
 | 4*x*asin(x) dx = C - 2*| -1, x < 1)|               
/                         \\   2            2                              /               

$$4\,\left({{x^2\,\arcsin x}\over{2}}-{{{{\arcsin x}\over{2}}-{{x\, \sqrt{1-x^2}}\over{2}}}\over{2}}\right)$$