Интеграл 4*x*atan(x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  4*x*atan(x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 4 x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 4 x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x^{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 x^{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  4*x*atan(x) dx = -2 + pi
 |                          
/                           
0                           

$$\pi-2$$

Численный ответ

1.14159265358979

Ответ (Неопределённый)

  /                                                   
 |                                           2        
 | 4*x*atan(x) dx = C - 2*x + 2*atan(x) + 2*x *atan(x)
 |                                                    
/                                                     

$$4\,\left({{x^2\,\arctan x}\over{2}}-{{x-\arctan x}\over{2}}\right)$$