Интеграл 4^(2*x+1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   2*x + 1   
 |  4        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 4^{2 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int 4^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4^{u}\, du = \frac{1}{2} \int 4^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left (4 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left (4 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{4^{2 x + 1}}{2 \log{\left (4 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{2 x + 1} = 4 \cdot 4^{2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 \cdot 4^{2 x}\, dx = 4 \int 4^{2 x}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int 4^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 4^{u}\, du = \frac{1}{2} \int 4^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left (4 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left (4 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left (4 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 4^{2 x}}{\log{\left (4 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{16^{x}}{\log{\left (2 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{16^{x}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{16^{x}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   2*x + 1        15  
 |  4        dx = ------
 |                log(2)
/                       
0                       

$${{30}\over{\log 4}}$$

Численный ответ

21.6404256133345

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    2*x + 1
 |  2*x + 1          4       
 | 4        dx = C + --------
 |                   2*log(4)
/                            

$${{4^{2\,x+1}}\over{2\,\log 4}}$$