Интеграл (pi-x)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  (pi - x)*sin(x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \left(- x + \pi\right) \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u \sin{\left (u \right )} + \pi \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \pi \sin{\left (u \right )}\, du = \pi \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \pi \cos{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- u \cos{\left (u \right )} + \sin{\left (u \right )} - \pi \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - \pi \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - x + \pi$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + \pi\right) \sin{\left (x \right )} = - x \sin{\left (x \right )} + \pi \sin{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \sin{\left (x \right )}\, dx = - \int x \sin{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \pi \sin{\left (x \right )}\, dx = \pi \int \sin{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \pi \cos{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - \pi \cos{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - \pi \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - \pi \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                      
  /                                                      
 |                                                       
 |  (pi - x)*sin(x) dx = pi - sin(1) - pi*cos(1) + cos(1)
 |                                                       
/                                                        
0                                                        

$$-\cos 1\,\pi+\pi-\sin 1+\cos 1$$

Численный ответ

1.14301421981706

Ответ (Неопределённый)

  /                                                      
 |                                                       
 | (pi - x)*sin(x) dx = C - sin(x) + x*cos(x) - pi*cos(x)
 |                                                       
/                                                        

$$-\sin x+x\,\cos x-\pi\,\cos x$$