Интеграл pi*(sin(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |        2      
 |  pi*sin (x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \pi \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \pi \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx = \pi \int \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\pi \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\pi}{4} \left(2 x - \sin{\left (2 x \right )}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\pi}{4} \left(2 x - \sin{\left (2 x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{4} \left(2 x - \sin{\left (2 x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |        2            /1   cos(1)*sin(1)\
 |  pi*sin (x) dx = pi*|- - -------------|
 |                     \2         2      /
/                                         
0                                         

$$-{{\left(\sin 2-2\right)\,\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

0.856635797783981

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 |       2                /x   sin(2*x)\
 | pi*sin (x) dx = C + pi*|- - --------|
 |                        \2      4    /
/                                       

$${{\pi\,\left(x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}\right)}\over{2}}$$