Интеграл pi*sin(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |        3      
 |  pi*sin (x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \pi \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \pi \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx = \pi \int \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2} - 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\pi \left(\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\pi}{3} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \cos{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\pi}{3} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{3} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                            /             3   \
 |        3         2*pi      |          cos (1)|
 |  pi*sin (x) dx = ---- + pi*|-cos(1) + -------|
 |                   3        \             3   /
/                                                
0                                                

$$\left({{\cos ^31-3\,\cos 1}\over{3}}+{{2}\over{3}}\right)\,\pi$$

Численный ответ

0.562158356732717

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                        /             3   \
 |       3                |          cos (x)|
 | pi*sin (x) dx = C + pi*|-cos(x) + -------|
 |                        \             3   /
/                                            

$$\pi\,\left({{\cos ^3x}\over{3}}-\cos x\right)$$