Интеграл csc(2*x)^4 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  csc (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \csc^{4}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\csc^{4}{\left (2 x \right )} = \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \csc^{2}{\left (2 x \right )}$

2. пусть $u = \cot{\left (2 x \right )}$.

   Тогда пусть $du = \left(- 2 \cot^{2}{\left (2 x \right )} - 2\right) dx$ и подставим $du$:

   $\int - \frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\, du$

   1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{u^{2}}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int - \frac{1}{2}\, du = - \frac{u}{2}$

      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} - \frac{u}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{6} \cot^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cot{\left (2 x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{6} \left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}\right) \cot{\left (2 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{6} \left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}\right) \cot{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{6} \left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}\right) \cot{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |     4             
 |  csc (2*x) dx = oo
 |                   
/                    
0                    

$${\it \%a}$$

Численный ответ

4.8839445152866e+55

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                  3     
 |    4               cot(2*x)   cot (2*x)
 | csc (2*x) dx = C - -------- - ---------
 |                       2           6    
/                                         

$$-{{3\,\tan ^2\left(2\,x\right)+1}\over{6\,\tan ^3\left(2\,x\right) }}$$