Интеграл dy/e^y (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |  1    
 |  -- dy
 |   y   
 |  E    
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{y}}\, dy$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{y}$.

      Тогда пусть $du = e^{y} dy$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- y}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{e^{y}} = e^{- y}$

   2. пусть $u = - y$.

      Тогда пусть $du = - dy$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- y}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- e^{- y}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- e^{- y}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |  1            -1
 |  -- dy = 1 - e  
 |   y             
 |  E              
 |                 
/                  
0                  

$${{1}\over{\log E}}-{{1}\over{E\,\log E}}$$

Численный ответ

0.632120558828558

Ответ (Неопределённый)

  /               
 |                
 | 1            -y
 | -- dy = C - e  
 |  y             
 | E              
 |                
/                 

$$-{{1}\over{E^{y}\,\log E}}$$