Интеграл dx/cos(x)^(6) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     6      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sec^{6}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )} = \tan^{4}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}$

      1. $\int \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = \tan{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sec^{6}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )} = \tan^{4}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}$

      1. $\int \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = \tan{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |     1           sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
 |  ------- dx = --------- + ---------- + ---------
 |     6              5            3      15*cos(1)
 |  cos (x)      5*cos (1)   15*cos (1)            
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$${{\tan ^51}\over{5}}+{{2\,\tan ^31}\over{3}}+\tan 1$$

Численный ответ

5.90824557562449

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                     5           3            
 |    1             tan (x)   2*tan (x)         
 | ------- dx = C + ------- + --------- + tan(x)
 |    6                5          3             
 | cos (x)                                      
 |                                              
/                                               

$${{\tan ^5x}\over{5}}+{{2\,\tan ^3x}\over{3}}+\tan x$$