Интеграл dx/(1-2*x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  1 - 2*x   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- 2 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \log{\left (- 2 x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- 2 x + 1} = - \frac{1}{2 x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (- 2 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (- 2 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (- 2 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |     1         pi*I
 |  ------- dx = ----
 |  1 - 2*x       2  
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- 2 x + 1}\, dx = \frac{i \pi}{2}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(1 - 2*x)
 | ------- dx = C - ------------
 | 1 - 2*x               2      
 |                              
/                               

$$-{{\log \left(1-2\,x\right)}\over{2}}$$