Интеграл dx/(1-x)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (1 - x)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(- x + 1\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     1            
 |  -------- dx = oo
 |         3        
 |  (1 - x)         
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.16570389659885e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1                   1     
 | -------- dx = C + -----------
 |        3                    2
 | (1 - x)           2*(-1 + x) 
 |                              
/                               

$${{1}\over{2\,\left(1-x\right)^2}}$$