Интеграл dx/(1+x)^5 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         5   
 |  (1 + x)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}}$

   2. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{4}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}} = \frac{1}{x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}}$

   3. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{4}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     1          15
 |  -------- dx = --
 |         5      64
 |  (1 + x)         
 |                  
/                   
0                   

$${{15}\over{64}}$$

Численный ответ

0.234375

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |    1                  1     
 | -------- dx = C - ----------
 |        5                   4
 | (1 + x)           4*(1 + x) 
 |                             
/                              

$$-{{1}\over{4\,\left(x+1\right)^4}}$$