Интеграл dx/(5*x+1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  5*x + 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{5 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \log{\left (5 x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{5 x + 1} = \frac{1}{5 x + 1}$

   2. пусть $u = 5 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \log{\left (5 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{5} \log{\left (5 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \log{\left (5 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \log{\left (5 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     1         log(6)
 |  ------- dx = ------
 |  5*x + 1        5   
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{5 x + 1}\, dx = \frac{1}{5} \log{\left (6 \right )}$$

Численный ответ

0.358351893845611

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(5*x + 1)
 | ------- dx = C + ------------
 | 5*x + 1               5      
 |                              
/                               

$${{\log \left(5\,x+1\right)}\over{5}}$$