Интеграл dx/5^x (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |  1    
 |  -- dx
 |   x   
 |  5    
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{5^{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5^{x}$.

      Тогда пусть $du = 5^{x} \log{\left (5 \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{\log{\left (5 \right )}}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{\log{\left (5 \right )}}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{u \log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- x}}{\log{\left (5 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{5^{x}} = 5^{- x}$

   2. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5^{u}\, du = - \int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- x}}{\log{\left (5 \right )}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{5^{- x}}{\log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{5^{- x}}{\log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |  1          4    
 |  -- dx = --------
 |   x      5*log(5)
 |  5               
 |                  
/                   
0                   

$${{4}\over{5\,\log 5}}$$

Численный ответ

0.497067947647689

Ответ (Неопределённый)

  /                  
 |               -x  
 | 1            5    
 | -- dx = C - ------
 |  x          log(5)
 | 5                 
 |                   
/                    

$$-{{1}\over{\log 5\,5^{x}}}$$