Интеграл dx/(3*x+9) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  3*x + 9   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{3 x + 9}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 9$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 9 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{3 x + 9} = \frac{1}{3 x + 9}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 x + 9}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

      1. пусть $u = x + 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 3 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 9 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 9 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 9 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                                 
 |     1           log(9)   log(12)
 |  ------- dx = - ------ + -------
 |  3*x + 9          3         3   
 |                                 
/                                  
0                                  

$${{\log 12}\over{3}}-{{\log 9}\over{3}}$$

Численный ответ

0.0958940241505936

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(3*x + 9)
 | ------- dx = C + ------------
 | 3*x + 9               3      
 |                              
/                               

$${{\log \left(3\,x+9\right)}\over{3}}$$