Интеграл dx/(x^2-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  - 1   
     |           
    /            
    0            
    011x21dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1x21=12x+2+12x2\frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12x+2dx=121x+1dx\int - \frac{1}{2 x + 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. пусть u=x+1u = x + 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

        Таким образом, результат будет: 12log(x+1)- \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12x2dx=121x1dx\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. пусть u=x1u = x - 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

        Таким образом, результат будет: 12log(x1)\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}

      Результат есть: 12log(x1)12log(x+1)\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      12log(x1)12log(x+1)+constant\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    12log(x1)12log(x+1)+constant\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |    1               pi*I
     |  ------ dx = -oo - ----
     |   2                 2  
     |  x  - 1                
     |                        
    /                         
    0                         
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    -22.3920519833869
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                        
     |                                         
     |   1             log(-1 + x)   log(1 + x)
     | ------ dx = C + ----------- - ----------
     |  2                   2            2     
     | x  - 1                                  
     |                                         
    /                                          
    log(x1)2log(x+1)2{{\log \left(x-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(x+1\right)}\over{2}}