Интеграл 2/cos(x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    2      
 |  ------ dx
 |  cos(x)   
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |     2      
 | 1*------ dx
 |   cos(x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

  2   
------
cos(x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(x)

получим

  2      2*cos(1*x)
------ = ----------
cos(x)      2      
         cos (1*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
cos (x) = 1 - sin (x)

преобразуем знаменатель

2*cos(1*x)     2*cos(1*x) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (1*x)    1 - sin (1*x)

сделаем замену

u = sin(x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   2*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   2*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = dx*cos(x)

  /                
 |                 
 |   2*cos(1*x)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - sin (1*x)   
 |                 
/                  

Перепишем подинтегральную функцию

  2*cos(1*x)    2*1 /  1       1  \
------------- = ---*|----- + -----|
       2         2  \1 - u   1 + u/
1 - sin (1*x)                      

тогда

  /                     /             /          
 |                     |             |           
 |   2*cos(1*x)        |   1         |   1       
 | ------------- du =  | ----- du +  | ----- du  
 |        2            | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - sin (1*x)       |             |           
 |                    /             /            
/                                                
  

= 2*u*cos(x)/(1 - sin(x)^2)

делаем обратную замену

u = sin(x)

Ответ

  /                                                      
 |                                                       
 |     2                                                 
 | 1*------ dx = -log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x)) + C0
 |   cos(x)                                              
 |                                                       
/                                                        

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

-log(1 - sin(1)) + log(1 + sin(1))

$$\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)} - \log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}$$

=

=

-log(1 - sin(1)) + log(1 + sin(1))

$$\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)} - \log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}$$

Численный ответ

2.45238234176703

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   2                                               
 | ------ dx = C - log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x))
 | cos(x)                                            
 |                                                   
/                                                    

$$\int \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

График