Интеграл 2/sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     2       
 |  -------- dx
 |  sin(2*x)   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /             
 |              
 |      2       
 | 1*-------- dx
 |   sin(2*x)   
 |              
/               

Подинтегральная функция

   2    
--------
sin(2*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(2*x)

получим

   2       2*sin(2*x)
-------- = ----------
sin(2*x)      2      
           sin (2*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)

преобразуем знаменатель

2*sin(2*x)     2*sin(2*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (2*x)    1 - cos (2*x)

сделаем замену

u = cos(2*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -2*dx*sin(2*x)

  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

 -1      2*-1/2 /  1       1  \
------ = ------*|----- + -----|
     2     2    \1 - u   1 + u/
1 - u                          

тогда

                   /             /          
                  |             |           
                  |   1         |   1       
                  | ----- du    | ----- du  
  /               | 1 + u       | 1 - u     
 |                |             |           
 |  -1           /             /           =
 | ------ du = - ----------- - -----------  
 |      2             2             2       
 | 1 - u                                    
 |                                          
/                                           
  

= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2

делаем обратную замену

u = cos(2*x)

Ответ

  /                                                           
 |                                                            
 |      2          log(-1 + cos(2*x))   log(1 + cos(2*x))     
 | 1*-------- dx = ------------------ - ----------------- + C0
 |   sin(2*x)              2                    2             
 |                                                            
/                                                             

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

=

=

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

44.5334688581098

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                                         
 |    2              log(-1 + cos(2*x))   log(1 + cos(2*x))
 | -------- dx = C + ------------------ - -----------------
 | sin(2*x)                  2                    2        
 |                                                         
/                                                          

$$\int \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{2}$$