Интеграл 2/sin(x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    2      
 |  ------ dx
 |  sin(x)   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{\sin{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   2      
 | ------ dx
 | sin(x)   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  2   
------
sin(x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(x)

получим

  2      2*sin(x)
------ = --------
sin(x)      2    
         sin (x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)

преобразуем знаменатель

2*sin(x)     2*sin(x) 
-------- = -----------
   2              2   
sin (x)    1 - cos (x)

сделаем замену

u = cos(x)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |   2*sin(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |   2*sin(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = -dx*sin(x)

  /         
 |          
 |  -2      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

 -2       /  1       1  \
------ = -|----- + -----|
     2    \1 - u   1 + u/
1 - u                    

тогда

  /                /             /          
 |                |             |           
 |  -2            |   1         |   1       
 | ------ du = -  | ----- du -  | ----- du  
 |      2         | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - u          |             |           
 |               /             /            
/                                           
  

= -log(1 + u) + log(-1 + u)

делаем обратную замену

u = cos(x)

Ответ

  /                                                    
 |                                                     
 |   2                                                 
 | ------ dx = -log(1 + cos(x)) + log(-1 + cos(x)) + C0
 | sin(x)                                              
 |                                                     
/                                                      

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    2                  
 |  ------ dx = oo + pi*I
 |  sin(x)               
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

88.3580217372225

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   2                                               
 | ------ dx = C - log(1 + cos(x)) + log(-1 + cos(x))
 | sin(x)                                            
 |                                                   
/                                                    

$$2\,\left({{\log \left(\cos x-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos x +1\right)}\over{2}}\right)$$